张金良
(浙江省教育厅教研室 310012)
从事高中数学教学教研已有三十九年，经历了一次又一次课程改革，听了一次又一次专家报告，观摩了一次又一次的数学公开课，翻阅了一次又一次的数学文献，我不断拷问自已数学教学的意义在哪儿?数学教学核心是什么?它不受世事变迁，永远追求的本色又是什么?《普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)》指出“数学在形成理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用”,“数学教育要帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法,引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”.反思自已二十二年的一线教学实践和十七年数学教研生涯，我始终坚信当学生离开学校后，我们给学生的数学知识可能都会忘记，但赋予给学生的理性思维、严谨科学的作风、有逻辑地思考问题却永存.发展学生思维是数学课堂的核心，思维问题是数学的核心问题，数学思维与数学核心素养息息相关，互相促进，数学课堂教学中，教师和学生的核心活动是思维活动，我的课堂教学与数学教研始终围绕思维课堂去谋划、设计、实施，下面作一介绍，供参考.
随着课程改革深入推进，诸如“生本课堂、有效课堂、高效课堂”等新名词层出不穷，本文所谓思维课堂相对于知识课堂、理解课堂而言的一种课堂形态，主要是指培养学生学科思维的课堂，是以培养学生思维为取向、以突出发展学生思维能力为目标，以培养学生良好思维品质为主线的课堂教学，它反对忽视甚至扼杀学生思维的课堂.因此，思维课堂的基本特征是学生在教师的启发引导下，积极思考、主动参与课堂教学之中，学生的思维即使偏离了课堂主题，思维仍然得到保护，班级各个层次的学生在思维上得到足够的训练，数学课堂充满了思维张力.知识与思维相辅相成，相互促进，知识是思维赖以发生的材料和载体，思维是对知识的组织与加工.
与思维课堂相近相关的概念有“思维型课堂”、“思维发展型课堂”两种称呼.林崇德、胡卫平在文[1]中提出的思维型课堂，他们认为思维型课堂教学理论以聚焦思维结构的智力理论为基础，着眼于课堂教学中的思维活动，意在提高课堂的教学质量.思维型课堂的教学理论包括认知冲突、自主建构、自我监控和应用迁移四个方面的基本原理.文[2]根据英国思维教学专家麦吉尼斯所著的《从思维技能到思维发展型课堂》(Thinking Classrooms)一书中提到的“思维发展型课堂”，阐述了思维发展型课堂是以促进学生思维能力发展为核心目标的新型课堂教学形态，在这种课堂中，学习者或习得新的思维技能，或拓展已有思维技能的应用情境，或将已有思维技能作为加工知识的手段和方法，实现对学科知识的更深入理解以及对思维技能的更熟练运用.
由此可见，思维课堂与“思维型课堂”、“思维发展型课堂”既有联系也有区别.思维课堂的基本特点是整个课堂充满了思维张力.而张力在物理学中可解读为物体受到拉力作用时，存在于内部的一种相互牵引力，在文学中可理解为一篇文章张驰有度、有疏有密、读起来让人赏心悦目.借鉴到数学课堂，可理解为教师根据学情，设计了多个相互牵引又能突破的有效学习点，实施时，师生思维相互交融，达到深度理解，课堂充满“厚度”、“宽度”、“深度”，生机勃勃.思维课堂一般信息量大、探究充分、思维层次高、学生体验多.
数学思维课堂既是对数学教学的理性认识，也是教学过程的一种实际的操作，它没有固定的操作程序与固定的教学模式，但我们可以提炼出思维课堂的若干特征、训练方法与策略.
思维课堂能在一定程度上能避免数学教育的浮躁、浮夸的倾向，使教育回归本源.思维课堂的有效实施，能优化学生的思维方法，拓展思维空间，畅通思维渠道，提升思维水平，实现轻负担高质量的教学.
在长期的数学教育教学实践中，我的课堂、我的教研始终围绕思维课堂下功夫，也切切实实感悟到大多数人的数学学习是从模仿开始的，主要通过模仿老师讲述的概念、公式、法则、定理、习题及举一反三的训练、领悟、迁移而习得.他一般需要经历懂、会、熟、化四个阶段.听懂了不等于掌握了，会做了不等于融会贯通.也就是说数学学习一般要经历理解、领悟、迁移、内化、活用几个阶段.学生的思维是可塑的,可培养的，学生优秀思维的品格，是教师优秀思维方式、思维品质的外化.智优生的思维品质通常胜过普通老师，需要特殊的呵护与培养.数学教学尽量让学生快速领悟知识，熟练掌握解题方法，形成条理化、系统化、结构化的知识体系，实现自我超越.
2.1 关注知识的发生发展，培养学生思维系统性
数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.数学知识是相互关联的一个整体，数学知识之间存在着千丝万缕的联系.早期的数学教材限于篇幅及学生的认知水平，知识的呈现常常是分散的、点状的，对知识的发生发展过程介绍较少，教学时我反复钻研教材，洞察每一个知识点的源与流，把握知识点的来龙去脉，将知识的发生、发展过程呈现给学生，不搞“掐头去尾烧中段”的教学方式，更不做“一个概念(定理)+三项注意”的急功近利的教学,力求让学生知其然，又知所以然，体现知识的联系性与系统性，从而培养学生系统性思维.
例如函数概念的建构.首先讲述函数发展的四个阶段，第一阶段1673年莱布尼茨的图象说:用来表示一个随着曲线上的点变动而变动的量，第二阶段1755年欧拉变量说，曾经的初中数学教材中的定义，第三阶段1851年黎曼的对应说，现行高中数学教科书中使用的定义，第四阶段1939年布尔巴基学派给出更为一般的关系说定义.其次重点用集合间的对应、映射概念阐述函数定义，进一步讲述函数研究的对象有整体性质与局部性质，研究的方法有数形结合法等，再次研究函数奇偶性、单调性、周期性等性质时的目的是什么？为何要去研究？
再如三角函数中弧度制概念的建构.总要问问学生初中已学习了角度制，为什么高中我们还要学习弧度制？通过追问与介绍，让学生明白弧度制产生有着悠久的历史，它源于印度，成于欧拉，是数学家理性思维的结晶，其中的基本思想是圆半径与圆周长用统一的度量单位进行度量，是用对应的弧长与圆半径之比来度量角度.弧度制的诞生为三角函数的建立奠定了基础，在弧度制的基础上，任意一个实数x与x弧度的三角比之间建立了对应关系即为三角函数，由此建立的三角函数具有一系列精彩优美的结论，否则角度与三角函数不能进行运算，许多结论失去了美的感受.当学生初步建立弧度制概念后，继续引导学生从定义的方式、历史的起源、等分的数量、度量制度、线性关系等视角深入比较角度制、弧度制差异，再认识学习弧度制的必要性及其思维方法.
还如，解析几何开篇教学时.要给学生讲一讲笛卡尔与费马发明解析几何的故事，让学生明白在笛卡尔时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位.笛卡尔致力于代数和几何的联系研究，在1637年，成功地创立了解析几何学，可以将几何问题归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质，为微积分的创立奠定了基础.
2.2 重视总结归纳，培养学生结构性思维
在现实生活中，结构化思维无处不在，无处不用.只是人们大多在潜意识层面上应用，没有上升到理论高度.结构化思维有三个基本步骤:确定目标、资源分析、制定计划，它条理清晰，是解决问题时最关键的一把钥匙，它可以使我们有条不紊、忙而不乱地处理一切问题.数学结构化思维是学生核心素养的重要标志，是一种程序性、系统性、本质性、迁移性的思维方式.它可能以通过知识的整体呈现、解题过程的探究、课后反思追问等方式进行培养，在自己的课堂教学中，总是想方设法帮助学生建构一个系统化、结构化、整体化的知识体系，使学生心中有目标、脑中有结构、手中有方法.具体操作是“从薄到厚，再从厚到薄”.
新课教学时，根据学生的认知水平，采用螺旋上升、拾级而上、讲深讲透，引导学生经历丰富多样的知识学习，学会每一个知识点，每一个知识块.在面对新课小结、单元小结、章节小节时，有意识地培养学生自我归纳知识规律及其特征的习惯，新课小结力争细致全面重点突出，单元小结、章节小节会利用概念图等和学生一起图文并茂地梳理知识，把知识的关联逐层展示出来，使知识由细到粗，由点到面，形成脉络.有时引导学生自主将知识归纳整合，有时候通过作业或考试的方式，促使学生归纳整理一个单元一个章节的知识体系，有时还通过课堂教学提问的方式，让学生回答一个单元一个章节的知识体系，从而培养学生对数学知识的整体认识，进一步培养学生思维的整体性，实现结构化思维的培养.在课型设计上常常采取知识梳理、构建网络，典例精讲、变式训练，方法提炼、归纳总结，当堂检测、巩固拓展四个环节或自主研学、温故知新，互动探究、动态生成，梳理归纳、构建体系，问题解决、完善结构，目标检测、检验效果，布置作业、应用迁移六环节.下图为三角函数单元结束时引导学生总结的知识结构图.
2.3 方法引领，典题示范，培养学生思维的广阔性
在培养与发展学生思维上，无论课时多么紧张，教学时必须挤出时间给每届学生上好两节导学课，一节是数学知识如何习得的，另一节是数学解题常用思想方法.第一节课引导学生明白数学学习是从模仿开始，须经历模仿、领悟、迁移、内化的过程，也就是要经历“懂—会—熟—化”四个阶段训练，数学离不开做题，学会解题要经历“记忆模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析”四个步骤，其中“自觉分析”是指对解题过程的自我反思，是大多数同学所欠缺的思维品质或思维习惯.第二节是数学思考问题的常用方法，通过丰富的例子或故事，从宏观上引导学生明白，数学思考问题方式有一般到特殊的演绎推理，也有特殊到一般的归纳推理，还有特殊到特殊的类比推理，数学思维的一般方法有观察与实验，比较、分类与系统化，归纳与演绎，分析与综合，抽象与概括，一般化与特殊化，模型化与具体化，类比与映射，联想与猜想，数学思维的方式有收敛思维和发散思维，抽象思维和形象思维，分析思维和直觉思维.具体地讲指导我们解题的常用思维方式，有形象化思维、特殊化思维、模型化思维、归纳化思维、类比化思维、逆向化思维.鼓励学生在解决数学问题时，学会从代数、几何、向量、跨界等不同视角思考问题的同时，还要学会整体思考、局部思考、反面思考、逆向思考、差异思考、升维(格)思考、降维(格)思考、回归原理(母体)等思考方式.一般地讲视角越多、方法越丰富，破题不但越快捷，而且更容易发现创新解法.
补充方法1: 差分法
化简得证.
补充方法3：利用Abel变换
化简得证.
补充方法4:利用积分
化简得证.
化简得证.
补充方法6：几何法
首先利用n2=1+3+…+(2n-1),
多角度讲完题目后，引导学生将自然数平方和进行联想推广，最后向学生介绍一般方幂和问题.
2.4 经常进行类比联想，推广猜想，培养学生思维的深刻性与创造性
联想1:从每一项的特点看,分母中的每一项都是等差数列1,2,3,……,n的前后两项之积，因此一般化后
联想2：再看分母中每项,前后相差常数1，于是作如下联想:
联想3：从数列各项的分母编排看，前后两项总有一个数相同，于是可理解成数列1，2，3，…，n，…相邻两项积的倒数和问题，自然可联想相邻三项积的倒数和问题，于是
一般地，设{an}是公差为d(d≠0),且不含零项的等差数列，m,n∈N*,于是有
联想4:该数列求和问题本质是数列1，2，3，…，n，…相邻两项积的倒数和问题，求解方法是裂项求和法，具体的技巧由多裂少，于是作对比联想得
一般地，设{an}是公差为d(d≠0),且不含零项的等差数列，a0=0，m,n∈N*,于是有
联想5:进一步设计一个创造性问题：在集合{1,2,…,100}中试选出10个数使它们的倒数和为1.
2.5 图式结合，培养学生的直观想象素养
希尔伯特曾说“人类的一切知识都是从直观开始”,美国数学教育家 M·克莱因(M. Kline)曾说：“任何一门学科最初都是通过直观的方法建立起来的，每一位数学家都是直观地思考问题，然后才用演绎的形式，用文字、数学符号和普通的逻辑来表述他的论点.因此，数学理解乃是通过直观的方法来获得的，而逻辑的陈述充其量不过是学习的辅助工具.”
徐利治“学习一条数学定理及其证明，只有当我们把定理的直观含义和直观思路弄明白了，才认为真正懂了”,想象是在研究图形的性质(即图形的形状、数的大小和位置关系)时，除直接给出一些基本图形的性质外，总要根据所给具体图形的特点和解决问题的需要出发，把它分解和重新组合，即在头脑中进行操作，出现一些异于当前所给图形的一些新的图形，这就是“想象”，直观想象主要包括由式想(构)图及由图想(构)式或空间想象三个方面.在笔者的教学实践中，十分重视学生直观想象素养地培养.具体的做法有三个方面:
二是利用数形结合由式想图，由图构式进行直观想象.如三角恒等式：sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sinAsinBsinC(其中A,B,C为三角形三内角)的构造，可从半径为R圆的内接三角形分割成3个小三角形后，由面积不变性得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC化简可得上述等式.
三是利用立体几何素材引导学生进行直观想象.如“设m平面α内的一条定直线，P是平面α外的一个定点，动直线n经过点P且与m成30度角，则直线n与平面α的交点的Q轨迹是什么？”经过直观想象直线n扫过的曲面是圆锥，n是其中的一条母线，进一步由圆锥曲面被平面所截理论，易知Q的轨迹是双曲线.又如立体几何老教材的中线面垂直的判定定理，许多老师认为高考不可能考该题的证明，于是上课时偷工减料，甚至不足十五分钟就讲完新课，然后进行课堂练习.而我认为这是培养学生直观想象的好素材，总是耐心地启发引导学生如何架设辅助线，发现证明思路，每次授课在定理推导与证明上至少耗时三十五分钟以上，在培养学生空间想象，构造性思维下足功夫.
2.6 依“课”而行，追求恰当的思维张力
没有思维含量的课肯定不是一堂好课，反之过度的思维含量也会溢出学生的认知负荷，影响学生学习数学的兴趣，因此，成功的数学课，强调的是应依“课”而行，追求恰当的思维张力.在长期的教学教研实践中，我根据不同的课型，构建了不同课型的思维课堂，下面以概念课、命题课(定理、性质、公式、法则、公理等)、习题课、小结课为例作一展开.
命题课常常设计成“创设情境、提出问题，分析推理、证明命题，尝试应用、巩固理解，深化拓展、形成结构，目标检测、总结归纳”五环节进行教学.其中第二环节是设计的重点，它要求学生善于分析命题的条件与结论，尝试证明或操作确认，并指出命题的适用范围及运用时的注意事项.
习题课常常设计成“复习回顾、点明课题，例题示范、释疑解惑，变式训练、及时内化，当堂检测、诊断反馈，归纳总结、反思提升”五环节进行教学，其中第二环节中教师通过小步子、小转弯方式，运用引伸、变化条件、改变结论、背景复杂化、配置实际应用环境等手段配置变式训练题目或题组，使知识前挂后联.
小结课常常设计成“知识梳理、构建网络，典例精讲、变式训练，方法提炼、归纳总结，当堂检测、巩固拓展，布置作业，应用迁移”五环节进行教学，其中梳理整合，构建体系，反思升华重点进行关注.
总之，思维课堂是保护思维、发展思维的课堂，它的基本教学要素是有问题、有思考、有互动、有引导、有实效、有激励.具体地讲，有一个能引发思考探究的问题；
有深层次的思考，触发学生从低阶思维到高阶思维；
有师生之间、生生之间的互动交流与思维碰撞；
有教师的精心点拨与释疑引领；
有教学目标的达成与核心素养的发展；
有对优秀思维火花绽放的肯定，也有对跑偏思维的保护.教学的主要环节有：情境创设、提出问题，问题驱动、探究释疑，自主建构、内涵揭示，变式迁移、巩固应用等.新课教学时，一般通过环环相扣的活动设置与由浅入深的问题链的安排，采取低起点、小转弯、多提问、高落点的教学方式构建思维课堂；
复习课教学时，一般通过设计出思维含量高、思维强度大、新颖、典型梯度合理的问题，采取高密度、快节奏、大容量、满负荷的教学方式构建思维课堂，强调知识的联系性、结构性，帮助学生建构一个完整的知识体系.纵观几十年的课堂研究与实践，无论什么课型，课堂教学都能重视学生兴趣的激发与参与意识的培养，能站在高等数学背景或知识系统角度进行教授，重视学习内容的再加工与教学活动及问题链的设计，重视“脚手架”的搭建与实施，实行变式教学，经常性地引导学生进行联想、推广、变形，做到居高临下，信手拈来，讲而不灌，导而勿牵，聚焦思维，诱而多变.数学教学始终追求有思维含量的教学，既有“温度”，又有“宽度”、“厚度”、“深度”，充满张力.
长期的教学教研的耕耘，尤其一线二十二年数学思维课堂教学实践，使我对数学教学认识越来越深入，课堂教学的效果也越来越显著，渐渐地形成了“细、实、活、深、趣”个人教学风格，所谓“细”：知识讲解细致入微；
“实”：夯实基础，落实知识点；
“活”：立足数学思想方法，灵活教导，活在教学方法的选择之中；
活在概念的理解之中，活在一题多解、多变、多用之中，活在思维的迁移之中；
“深”：深入浅出，鱼翔浅底，教学时对某一概念、公式、法则、定理、例题、习例进行适当的加深延拓，进行“趁热打铁”、“顺水推舟”、“水到渠成”式地使学生的思维得到自然的延伸，从而让学生领略到“曲径通幽，豁然开朗”的美好感觉.当然长期坚持思维课堂教学并非易事，它必须以个人的专业素养作支撑，为此自己付出了毕生的精力，边“教”边“研”，边“研”边“教”，几十年如一日，努力提升自已的专业素养.最后值得说明的是思维课堂并不排斥课堂教学的有效性，它与其他的教学方式互为补充.
